Pentominós

Nos preguntábamos la semana pasada cuál sería, jugando al Tetris, la secuencia de piezas cayendo más favorable para el jugador, es decir, más fáciles de colocar de forma compacta. Es evidente que si solo cayeran piezas de los tipos I y O sería muy fácil encajarlas de forma compacta (siempre que no fueran todas o casi todas O); pero, puesto que las piezas se seleccionan al azar, la probabilidad de que esto suceda es muy baja desde el primer momento. La probabilidad de que las dos primeras piezas de una partida de Tetris sean del tipo O o I es 2/7 x 2/7 = 4/49, poco más del 8%. Y la probabilidad de que esto ocurra cuatro veces seguidas no llega al 1%.

Las piezas más difíciles de encajar son las del tipo T, S y Z, sobre todo las dos últimas. Luca Tanganelli mandó un esquema del desarrollo de una partida en la que solo cayeran fichas del tipo T.

El cuadradito que sobresale en la parte superior izquierda del mosaico se corresponde con el hueco de la parte inferior izquierda, por lo que la teselación podría repetirse ad infinitum de no ser porque con esta secuencia no desaparece ninguna línea y se llega rápidamente a la parte superior de la pantalla.

La caída de piezas más desfavorable es lo que los jugadores de Tetris llaman “secuencia de la serpiente”, que es una sucesión de piezas S y Z. Afortunadamente, es tan improbable como la secuencia de piezas I y O.

Los versátiles pentominós

Si a cada tetrominó le añadimos un cuadrado más de todas las maneras distintas posibles, obtenemos los pentominós. Si no se consideran diferentes los obtenibles unos de otros por rotación o simetría especular, hay 12 pentominós “libres” distintos, que, al igual que los terominós, se suelen designar mediante letras mayúsculas con las que guardan un parecido formal: F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z. Como curiosidad (y recurso mnemotécnico), obsérvese que siete de los pentominós se corresponden con las siete últimas letras del alfabeto.

Al pentominó F también se lo denomina R; ¿por qué? (Pista: tiene que ver con otro juego en el que se combinan celdillas cuadradas).

Si no consideramos iguales los simétricos especulares, los pentominós F, L, N, P, Y y Z dan lugar a otros 6, por lo que el número de pentominós “no libres” (“pegados” al plano, como los tetrominós del Tetris) es 18.

Puesto que los 12 pentominós libres suman un total de 60 cuadrados, en principio podemos formar con ellos rectángulos de 6 x 10, 5 x 12, 4 x 15 y 3 x 20. En principio y en la práctica: invito a mis sagaces lectoras/es a adquirir un juego de pentominós (se encuentran fácilmente en cualquier tienda del ramo) y a experimentar con estas y otras construcciones. En la figura vemos una solución para el rectángulo de 6 x 10; ¿es única?

Especialmente interesante es el desafío “reptiliano” (del inglés rep-tiles, teselas repetidas), que consiste en formar con los 12 pentominós libres las mismas 12 piezas a un tamaño 12 veces mayor.

Por cierto, ya que este artículo gira alrededor de los pentominós, y por ende del número 5, viene a cuento señalar que esta es la entrega 260 de El juego de la ciencia, por lo que la sección cumple cinco años. Un buen pretexto para agradecerles una vez más a mis amables lectoras/es su asidua participación. Sin sus frecuentes y jugosos comentarios, esta sección no tendría sentido.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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