Grandes retos en las ecuaciones de los fluidos

Uno de los grandes desafíos de la ciencia es predecir el comportamiento de los fluidos a partir de las ecuaciones que describen su dinámica. Esto permite comprender fenómenos físicos —como la formación de tornados, de frentes de aire de diferentes temperaturas, de olas y tsunamis, o la ruptura de una gota— lo que facilita, por ejemplo, la predicción meteorológica o el estudio de posibles inundaciones.

El estudio de estas ecuaciones da lugar a una de las preguntas incluidas entre los siete problemas del milenio, cuya resolución está premiada con un millón de dólares. También ha motivado otras cuestiones de gran interés en la investigación matemática actual, sobre las que se están obteniendo importantes avances en estos años.

En 1755 el matemático Leonhard Euler escribió por primera vez las ecuaciones diferenciales que llevan su nombre y que rigen el movimiento de un fluido ideal, es decir, que está libre de las fuerzas de fricción provocadas por las interacciones entre las moléculas que lo forman. Años después, en 1822, Claude-Louis Henri Navier e, independientemente, en 1845, George Gabriel Stokes, estudiaron el caso de un fluido viscoso, que sí está sujeto a fuerzas de fricción, e introdujeron en el modelo de Euler un nuevo término, el de la viscosidad, llegando a las ecuaciones que hoy denominamos de “Navier-Stokes”.

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen la dinámica de los fluidos a partir de la ley de conservación de la masa y la segunda ley de Newton. Esta asocia la aceleración de las partículas con las fuerzas que actúan sobre ellas: las variaciones espaciales de la presión, las fuerzas de rozamiento entre las moléculas –que definen cómo de viscoso es un fluido– y posibles fuerzas externas como la gravitatoria. A esto se suma la ecuación que recoge la incompresibilidad del fluido. Además, la dinámica podría depender de otros factores, como la temperatura o la presencia de un campo magnético, que harían que el modelo fuera aún más complejo.

Estas ecuaciones funcionan de la siguiente manera: tú les dices cuál es la velocidad del fluido en un determinado momento del tiempo –lo que se conoce como dato inicial– y, al resolverlas, ellas te devuelven la velocidad de ese fluido en cualquier momento posterior –la solución–. Desgraciadamente, la resolución de estas ecuaciones no es sencilla.

La dificultad del análisis de las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes radica en que son sistemas inestables –en los que pequeñas perturbaciones pueden cambiar por completo la configuración del sistema–, no lineales –las respuestas no son proporcionales al estímulo que las provoca– y no locales –lo que ocurre en un punto no depende solo de lo que sucede en su entorno inmediato, sino del estado de todo el fluido–.

De hecho, no fue hasta principios del siglo pasado cuando se demostró la existencia de soluciones de estas ecuaciones. En 1933, el francés Jean Leray probó la existencia y unicidad de soluciones regulares. Estas son velocidades suaves, en las que no se producen cambios bruscos, lo que se corresponde, en términos matemáticos, a funciones diferenciables. Por ejemplo, la velocidad del agua que discurre tranquila por los meandros de un río es suave, mientras que la que corre por sus rápidos es irregular. Leray probó que, partiendo de una velocidad regular, hay una única velocidad, también regular, que varía con el tiempo, y resuelve las ecuaciones durante cierto intervalo temporal futuro (que depende del dato inicial). Más allá de ese intervalo, Leray no fue capaz de asegurar que las ecuaciones tuvieran solución.

Un año después introdujo en las ecuaciones de Navier-Stokes la noción de “solución débil”, que puede ser regular o irregular, y probó que siempre, para cualquier momento del tiempo, existen este tipo de soluciones . En principio, las velocidades que resuelven Navier-Stokes deberían ser suaves, pero el concepto de solución débil aporta una nueva manera de entender estas ecuaciones, de modo que puedan dar lugar a soluciones también irregulares.

A partir de estas ideas surgen dos de los problemas matemáticos más importantes del área. El primero es determinar si hay soluciones regulares para todo tiempo o, por el contrario, estas se convierten en irregulares en algún momento. Cuando esto sucede, se dice que se forma una singularidad. Si se considera el fluido en dos dimensiones, Witold Wolibner y Leray demostraron que no se producen singularidades, y que sus soluciones existen y se preservan regulares para todo tiempo. Pero en tres dimensiones el problema todavía está abierto. Esta cuestión está incluida en la lista de problemas del milenio de la Fundación Clay, y su resolución está premiada con un millón de dólares.

El segundo problema se pregunta por la unicidad de las soluciones débiles. Es decir, ¿puede haber dos soluciones débiles distintas que comiencen en el mismo dato inicial? O, ¿dado un dato inicial solo puede haber una única solución débil? Desde una perspectiva clásica, uno espera que una misma situación no dé lugar a dos futuros diferentes. Sin embargo, se sabe que esto no es así para la ecuación de Euler. Para la de Navier-Stokes en dos dimensiones sabemos que sí hay unicidad de soluciones débiles, y en tres dimensiones no sabemos lo que sucede.

En los últimos años ha habido grandes avances en la resolución de este problema, entre las que destaca un trabajo reciente de Tristán Buckmaster y Vlad Vicol. Estos investigadores han demostrado que, si se consideran soluciones aún más débiles que las de Leray, entonces no hay unicidad. Sin embargo, la unicidad de las de Leray sigue siendo una incógnita que científicos en todo el mundo tratan de resolver.

Ángel Castro y Diego Córdoba son investigadores del ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”

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